Nota: Voy a tratar estos tema en términos de la física de Isaac Newton, pero sin perder de vista el conocimiento disponible a Arquímedes.
Ver también Eureka!
Balanzas
El instrumento que en verdad necesitamos para experimentar con el principio de Arquímedes es una balanza hidrostática... las cuales fueron inventadas por Galileo Galilei en 1585.
Pero no significa que no nos podamos aproximar con instrumentos más rudimentarios. Lo que necesitamos es una balanza colgante (nota: no confundir con una báscula colgante), que podamos sumergir en agua:
Con este instrumento podemos verificar el principio de Arquímedes con objetos que no flotan en el agua.
Primero que todo, el principio de Arquímedes nos queda de esta forma:
(Empuje Hidroestático) = (Masa del fluido desplazado) * (Aceleración Gravitatoria)
Ahora, sabemos que el objeto experimenta la fuerza gravitatoria:
(Fuerza Gravitatoria) = (Masa objeto) * (Aceleración Gravitatoria)
Y que estas fuerzas se oponen una a la otra. Ya que voy a trabajar con objetos que se hunden, trabajaré con Fuerza Gravitatoria positiva, y Empuje Hidroestático negativa, par que la fuerza total resulte positiva:
(Fuerza Total) = (Fuerza Gravitatoria) - (Empuje Hidroestático) => (Fuerza Total) = (Masa objeto) * (Aceleración Gravitatoria) - (Masa del fluido desplazado) * (Aceleración Gravitatoria) => (Fuerza Total) = (Aceleración Gravitatoria) * ((Masa objeto) - (Masa del fluido desplazado))
Por supuesto, si trabajamos en Aceleración Gravitatoria = 1, esto nos quedará en los términos que usaría Arquímedes.
Ahora, en realidad hay dos fluidos: Aire y Agua. Que son relevantes cuando el objeto no está sumergido y cuando está sumergido, respectivamente. Sin embargo no tendremos métodos de estimar la densidad del aire hasta Robert Boyle (contemporáneo de Isaac Newton). Así que diré que la Densidad del Aire = 0 (despreciable).
Luego, si la densidad del aire es despreciable, entonces la fuerza de empuje del aire es despreciable, y por tanto en el aire solo es relevante la fuerza gravitatoria:
(Fuerza Total en el Aire) = (Aceleración Gravitatoria) * ((Masa objeto) - (Masa del Aire desplazado)) => (Fuerza Total en el Aire) = (Aceleración Gravitatoria) * ((Masa objeto) - 0) => (Fuerza Total en el Aire) = (Aceleración Gravitatoria) * (Masa objeto) => (Fuerza Total en el Aire) = (Fuerza Gravitatoria)
Por otro lado, el agua tiene densidad notable. Esta la podemos medir colocando un recipiente graduado de agua en una balanza con un peso conocido haciendo contrapeso. Agregamos agua al recipiente hasta que logremos equilibrio. Despreciando el peso del recipiente.
Nota: Si no contamos con pesos estándar, resultará más fácil trabajar en Densidad del Agua = 1, y luego utilizar el agua para determinar el peso de otros objetos.
Una vez conozcamos la densidad del agua, y utilizando el método de Arquímedes para medir el volumen de un objeto, podemos calcular la masa de agua desplazada.
(Fuerza Total en el Agua) = (Aceleración Gravitatoria) * ((Masa objeto) - (Masa del Agua desplazado))
Ahora, si sumergimos un extremo de la balanza en agua y el otro no, obtenemos una masa aparente en el agua (peso en el agua):
(Fuerza Total en el Agua) = (Aceleración Gravitatoria) * ((Masa objeto) - (Masa del Agua desplazado)) => (Fuerza Total en el Agua)/(Aceleración Gravitatoria) = (Aceleración Gravitatoria) * ((Masa objeto) - (Masa del Agua desplazado))/(Aceleración Gravitatoria) => (Masa aparente en el Agua) = (Masa objeto) - (Masa del Agua desplazado)
Nota: Recordar que esto es para objetos que se hunden.
Ahora, si la corona es de oro, tendrá la misma Masa aparente en el Agua que el oro.
Palancas
En caso que no esté claro, también hemos creado una forma de medir fuerzas (Medimos masas y trabajamos en Aceleración Gravitatoria = 1).
Esto será útil para verificar la ley de la palanca de Arquímedes... que por cierto, la balanza es una palanca.
Una palanca tiene tres partes:
- Un punto de apoyo
- Una fuerza que ejerce potencia en un punto
- Una fuerza que ejerce resistencia en un punto
Dependiendo donde estén aplicadas estas fuerzas respecto al punto de apoyo, la palanca es de uno de tres tipos diferentes:
- Tipo 1: Las fuerzas se aplican a extremos opuestos del punto de apoyo.
- Tipo 2: El punto de resistencia está entre el punto de apoyo y el de potencia.
- Tipo 3: El punto de potencia está entre el punto de apoyo y el de resistencia.
Nos interesan:
- El brazo de potencia: la distancias del punto de potencia al punto de apoyo.
- El brazo de resistencia: la distancias del punto de resistencia al punto de apoyo.
La ley de la palanca dice que:
(Fuerza de Potencia) * (Brazo de Potencia) = (Fuerza de Resistencia) * (Brazo de Resistencia)
La balanza es - por supuesto - una palanca de tipo 1, donde las fuerzas de potencia y resistencia corresponden a los pesos de los objetos:
(Peso del objeto A) * (Brazo A) = (Peso del objeto B) * (Brazo B) => (Peso del objeto A) = (Peso del objeto B) * (Brazo B) / (Brazo A)
Si cambiamos la longitud de uno de los brazos, encontraremos un peso aparente:
(Peso del objeto A) = (Peso del objeto B) * (Brazo B) / (Brazo A) => (Peso aparente) = (Peso real) * (relación de brazos)
Así, podemos confirmar experimentalmente que, si acortamos un brazo a la mitad, el objeto en ese brazo parecerá pesar la mitad (necesitaremos el doble de peso para lograr equilibrio). Y lo equivalente es cierto para cualquier otra proporción.
Dame un punto de apoyo y moveré el mundo-- Arquímedes
Addendum: A Arquímedes también se le atribuya la invención de la polea.
Esta historia continuara...
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