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¿Qué es un Número?

¿Una representación de una cantidad física? No! Eso sería una medida.

Decimos que algo es un número si ese algo pertenece a un sistema numérico. Pero eso solo plantea más preguntas. Podemos decir que un sistema numérico es un sistema para representar números y operaciones entre ellos. Resulta en una definición circular.

Número, del Latin numerus, del protoindoeuropeo *nem- que significa asignar o distribuir. Esto nos lleva directamente a la idea de los números ordinales (primero, segundo, tercero, etc...), los cuales se le asignan a los elementos de un conjunto. En contraste a los números cardinales, los cuales representan la cardinalidad (cantidad de elementos) de un conjunto.

Sin embargo, no todos los sistemas numéricos son útiles como cardinales y ordinales. Por ejemplo, los número reales no son útiles como números ordinales porque no hay un siguiente número que venga después de otro (entre dos números siempre hay más números). Y no son útiles como números cardinales porque no tiene sentido que un conjunto tenga fracciones de elementos (al menos no en la teoría de conjuntos estándar).

El asunto es que llamamos números a los miembros de cualquier sistema numérico que incluya los números naturales, y luego lo generalizamos a sistemas numéricos que incluyen partes de otros sistemas numéricos.

Por ejemplo, los valores de verdad muchas veces se comportan de forma similar a los números, en que podemos hacer operaciones y ecuaciones con ellos. Sin embargo no consideramos que representen cantidades y no los consideramos números.

Si definimos número como una representación de una cantidad (física o no), ahora tenemos el problema de definir... ¿Qué que es una cantidad? Hay dos definiciones:

  • Una cantidad es una propiedad que se puede expresar con un número.
  • Una cantidad es una propiedad algo que se pude comparar en términos de mayor, menor o igual.

Lo primero resulta en una definición circular, con lo segundo debemos ser más flexibles de lo usual... En particular, en los números complejos no podemos definir un orden que tenga estas características:

  • Dados a y b, solo uno de estos es cierto: a > b, b > a, a = b
  • Si a > b, entonces a + c > b + c
  • Si a > b, entonces a * c > b * c

Si permitimos ordenes que no cumplan estas características, entonces yo puedo definir que falso < verdadero, y con esto considerar los valores de verdad como números.

Si, por otro lado, decimos que números son aquellos para los cuales se pueden definir la suma y la multiplicación. Entonces puedo definir la suma como disyunción y la multiplicación como conjunción y de nuevo los valores de verdad son números.


Resumiendo, los números son objetos matemáticos de los cuales:

  • Se pueden realizar comparaciones (mayor, menor o igual).
  • Se pueden realizar operaciones con ellos.

Además tenemos que considerar los valores de verdad como números, porque al intentar definir los números de forma que los excluyan, terminamos excluyendo otros sistemas numéricos bien conocidos.

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