Ir al contenido principal

¿Qué es un Vector?

Es necesario notar que hay tres enfoques para definir qué es un vector:

  • Física: Los vectores son magnitudes que tiene orientación en el espacio.
  • Matemáticas: Los vectores son objetos que se pueden sumar y multiplicar por un escalar número.
  • Computación: Los vectores son listas ordenas de números.

Desde el punto de vista matemático, los vectores se pueden representar como listas ordenadas de números. Sin embargo, todo lo que sabemos de espacios vectoriales sigue siendo cierto si no lo son. Por ejemplo, podemos tratar a las funciones como vectores (se pueden sumar y se pueden multiplicar por números) y esto es útil para definir procesos de transformación de una función a otra... por ejemplo, podemos decir que derivada es una transformación lineal de funciones. Luego f(x) = ex es un vector propio, pero me estoy adelantando.


En una dimensión

En una dimensión podemos entender los vectores sobre la recta numérica. Cada número en la recta numérica se puede identificar por una lista ordenada de un solo número (no hay sorpresa en ello).

Más importante, podemos imaginar el vector como una flecha que va desde un punto a otro de la recta numérica. A cada número en la recta numérica le corresponde un vector que va desde el cero hasta dicho número.

Suma de vectores

Si tenemos dos números a y b, y empezando en el 0, avanzamos la longitud a sobre recta numérica y luego avanzamos la longitud b sobre la recta numérica, llegamos al número que corresponde a la suma de a y b.

Producto escalar

El producto escalar en una dimensión simplemente hace el vector más corto o más largo según el escalar por el cual se multiplica. Por ejemplo, si tenemos el vector que va del 0 al 3, y lo multiplicamos por 2, tenemos un vector el doble de largo... este nuevo vector va del 0 al 6.


En dos dimensiones

En dos dimensiones trabajamos en un plano cartesiano. Este es un plano con dos ejes perpendiculares: y vertical y x horizontal, que se cruzan en un punto, al que llamamos origen. Entonces cada punto del plano se puede identificar por una pareja (una lista de dos valores) ordenada de números que corresponden a la distancia desde el origen sobre el eje horizontal y el eje vertical. Podemos imaginar el plano como una cuadricula, y los valores de la pareja ordenada nos dicen cuantos cuadros avanzar horizontalmente y verticalmente.

Podemos entender el vector como una flecha, que va de un punto a otro en el plano. A cada punto del plano le corresponde un vector que va desde el origen a dicho punto.

También es posible especificar un vector dando la longitud al origen y la orientación en la que hay que desplazarse para llegar.

Nota: Al trabajar con longitud y orientación, nos encontramos con que hay varias representaciones del mismo vector.

Suma de vectores

Si tenemos dos vectores, a y b, colocamos a desde el origen, luego colocamos b desde donde termina a. El punto al que llega b, es el punto que corresponde al vector suma de a y b.

Esto es equivalente a lo que hacemos en una dimensión, donde - empezando en el origen (0) - avanzamos un vector y luego el otro.

Por ejemplo: (2, 3) + (4, 7) = (2+4, 3+7) = (6, 10).

Multiplicación escalar

La multiplicación del vector por un escalar es simplemente crear un vector nuevo en la misma dirección pero su longitud es la original multiplicada por el escalar. De nuevo, esto es análogo a lo que ocurre en la recta numérica.

Por ejemplo: 5 * (2, 3) = (5*2, 5*3).


En otras dimensiones

Podemos imaginar esto mismo para el espacio tridimensional con solo agregar un tercer eje z. Imaginar más dimensiones no es simple, pero desde el punto de vista de la computación es lo mismo, solo que con número más. Desde el punto de vista de las matemáticas, no es necesario hablar de dimensiones, pero si lo hacemos el único problema que tenemos es como representarlas.


Como decía antes, la idea matemática de vector no está limitada por la idea de trabajar con listas de números. Es posible definir espacios vectores en los cuales no es útil hablar del número de dimensiones.


Podemos realizar operaciones sobre vectores. Por ejemplo, podemos sumar un vector con otro vector. Dependiendo el espacio vectorial en particular habrá un conjunto de operaciones posible.

Estas son algunas transformaciones vectoriales comunes:

  • Identidad: Mejor conocida como hacer nada.
  • Traslación: Corresponde a sumar un vector.
  • Escalado: Corresponde a multiplicar por un número.
  • Rotación: Corresponde a girar la orientación del vector.

Se consideran vectores propios aquellos que no cambian su orientación durante la transformación. Un vector propio puede resultar en un vector con longitud diferente después de la transformación. Se llama valor propio al número que representa el cambio de longitud de un vector propio. Se llama espacio propio al conjunto de vectores propios que tienen el mismo valor propio para una transformación dada. Los espacios propios son propiedades de las transformaciones vectoriales.

Comentarios