No tengo el tiempo, ni el espacio, ni la paciencia, ni los medios※ para compilar todos los trabajos de Euclides.
※: Hay trabajos que nunca se han encontrado (incluyendo un trabajo sobre curvas cónicas), que se presumen perdidos con la biblioteca de Alejandría... y otros que solo se conocen por traducciones al Árabe y otros idiomas.
Filosofía
Todas las contribuciones de Euclides a las matemáticas son significativas. Pero fuera de esto, probablemente la mayor contribución filosófica es aplicar las matemáticas al mundo físico. Para Pitágoras, los números eran sagrados, y la aplicación de su conocimiento en el mundo era accidental. Para Platón los números existían en el mundo de las ideas, y en la expansión solo existen reflejos de ese mundo... para Euclides, las matemáticas son una forma de entender el mundo.
Teoría de los números
Euclides nos da el proceso que reconocemos como el primer algoritmo (aunque aun no teníamos esa palabra): El algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor (aun en uso hoy en día).
Además demuestra la infinidad de los números primos:
Si hacemos una lista de todos los números primos...
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| 3 |
| 5 |
| 7 |
| 11 |
| 13 |
Etcetera...
Nota: No está claro si Euclides consideraba el 1 un número primo.Sea P el producto de todos los números en la lista. Está claro que P no es primo, puesto que es compuesto de todos los primos...
Ahora consideremos el número P + 1. Ya creemos que tenemos todos los números primos en la lista, podemos suponer que P + 1 no es primo. Eso significa que P + 1 debe tener varios divisores. Ahora, ya que P es el producto de todos los primos, deducimos que los divisores de P + 1 también deben ser divisores de P
Si a es divisor de P y también es divisor de P + 1, significa que a debe ser un divisor de la diferencia entre estos números: P + 1 - P = 1. Por tanto a debe ser un divisor de 1. Sin embargo, el único divisor de 1 es 1. Lo que significa que el único divisor en común entre P y P + 1 es 1.
Y ya que P es el producto de todos los primos, tenemos que no podemos descomponer P + 1 en un producto de primos. Por tanto P + 1 debe ser un número primo, lo que significa que P no el producto de todos los primos, lo que significa que nuestra lista está incompleta. Y esto sigue siendo cierto, independientemente de que números primos agreguemos a la lista.
Por tanto, siempre es posible agregar más números primos a la lista, y nunca estará completa. Lo que significa que los números primos son infinitos.
Geometría
Otra contribución importante de Euclides, es la formalización de la geometría como un sistema axiomático. Estos son los axiomas de la geometría euclidiana (basado en la versión de Wikipedia):
- Dados dos puntos se puede trazar un segmento que los une.
- Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
- Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
- Todos los ángulos rectos (un cuarto de vuelta) son congruentes.
- Si una recta corta a otras dos, formando dos ángulos interiores del mismo lado que suman menos que dos ángulos rectos (media vuelta), entonces las dos lineas, si se extienden indefinidamente, se encuentran de ese lado (en el cual los ángulos suman menos que dos ángulos rectos).
Es de la geometría de Euclides que veremos más aplicaciones en física.
Esta historia continuara...
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