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El método de los teoremas mecánicos

Arquímedes aplicó sus conocimientos sobre Balanzas y Palancas a otros problemas...

En particular, es posible utilizar el equilibrio para encontrar el centro de gravedad de un objeto. Y dada la ley de la palanca - y si este objeto es un solido de un material uniforme - este centro de gravedad será el centro del volumen del objeto. De esta forma es posible encontrar soluciones físicas a problemas geométricos, y viceversa.


Centro de gravedad

Ahora, si tomamos un triangulo, y lo dividimos en dos de forma tal que tengamos áreas iguales en ambos lados, la linea por la que dividimos el triangulo debe pasar por el centro de gravedad.

Podemos asegurar que dividimos el triangulo en dos partes de áreas iguales, si trazamos una linea desde uno de los ángulos hasta la mitad del lado opuesto. Esto es una mediana. Es posible trazar tres de estas lineas en el triangulo (una empezando en cada uno de los tres ángulos), por tanto, el centro de gravedad debe estar en el punto en que se interceptan.


Circunferencia

Arquímedes sabía que relación entre la Circunferencia y el Diámetro era constante. Al fin y al cabo se sabía que se puede trabajar a escala.

Notas:

  • Actualmente llamamos π (pi) a la proporción entre la circunferencia y diámetro. Esta denominación sería inventada hasta el siglo 18. Aun así le llamaré π en adelante.

  • La idea que π es constante no es nueva... de hecho, los Babilonios cerían que π era 3.

Si π es constante, significa que al aumentar el diámetro una determinada cantidad... la circunferencia aumentará cantidad proporcional. Esta cantidad que la circunferencia aumenta, solo depende de cuanto aumentamos el diámetro, y no de cuanto era el diámetro antes.

Podemos verificar esto, si tomamos un núcleo circular y ponemos cuerdas alrededor...

El ancho de la cuerda es constante, así que empezando del ancho del núcleo, la distancia desde el centro aumenta esta cantidad cada vuelta. Esa es la formula de la Espiral de Arquímedes.

En cuanto a la longitud de las cuerdas, también debe aumentar una cantidad fija cada vuelta. Lo cual podemos observar al desenrollar las cuerdas:

Observamos que la diferencia de longitud de las cuerdas consecutivas siempre es la misma. Por tanto la circunferencia aumenta de forma proporcional al diámetro. Confirmando que π es constante.

Por tanto, si tenemos diferentes círculos:

π = (Circunferencia 1)/(Diamtro 1) = (Circunferencia 2)/(Diamtro 2)

Siempre que calculemos la relación entre Circunferencia y Diámetro obtendremos π.


De hecho, las cuerdas forman un triangulo:

Nota:Recordar que utilizamos un núcleo, debido a esto, la punta superior del circulo no está cubierta.

El triangulo tiene por altura el radio de la circunferencia. Y la base es el radio multiplicado por π. Con esto en mente, Arquímedes pudo construir un disco y un triangulo, del mismo material, de las proporciones correctas para que estén en equilibrio en una balanza (dentro de un margen de error). Y por tanto tienen la misma área.

(Área del circulo) = (Área del triangulo)
(Área del circulo) = (Base)(Altura)/2
(Área del circulo) = π(Radio)(Radio)/2
(Área del circulo) = π(Radio)²/2

El problema de la aproximación de π

Los libros dicen que Arquímedes construyó un hexágono regular dentro de una circunferencia. Y luego subdividió los lados hasta lograr un polígono de 96 lados, y que con este consiguió un limite inferior de π de 3 + 1/7.

Ok, esto tiene unos problemas:

  • Aun no hay trigonometría, así que donde lo expliquen con seno, coseno, y tangente, está mal.
  • Podemos empezar con el hexágono, y utilizar Pitágoras para calcular cada paso. Pero vamos a terminar con un resultado que requiere raíces. Pero el resultado de Arquímedes solo requiere fracciones.
  • Esto es cierto si intentamos aproximar π mediante el perímetro o mediante el área.

Es posible que Arquímedes aproximara π construyendo las figuras y poniéndolas en una balanza. Al fin y al cabo, en "El método de los teoremas mecánicos" Arquímedes hace esto para calcular la proporción del área que ocupa un triangulo inscrito en una parábola. Lamentablemente no explica como aproximó π.

Otros historiadores han sugerido que Arquímedes utilizaba el "Método Babilónico" para aproximar las raíces. Existe una aproximación babilónica conocida de la raíz cuadrada de dos, en la tablilla YBC 7289 (enlace en Inglés)... pero no el método. Además, vamos a necesitar la raíz cuadrada de tres.


Aproximando raíces

Llamaremos x al número del que intentamos calcular la raíz. Y nuestras aproximaciones a la solución serán a₀, a₁, etc.

Ya que buscamos √x, buscamos un número que multiplicado por si mismo sea x. Nuestra primera aproximación será el entero más grande, que al multiplicarse por si mismo, sea menor que x.

Nota: Vamos a ignorar que esto tiene una solución positiva y una negativa.

Vamos a hacer una tabla con las raíces de 2, 3, 5, 7, 11, 13, y 17.

xa₀
21
31
52
72
113
133
174

Observar que a₀² < x, pero (a₀ + 1)² > x.


Ahora, calculamos la diferencia con el valor correcto (a la cual llamaré d):

√x = a₀ + d
=>
x = (a₀ + d)²
=>
x = a₀² + 2a₀d + d²
=>
x - a₀² = 2a₀d + d²
=>
x - a₀² = d(2a₀ + d)
=>
(x - a₀²)/(2a₀ + d) = d

Vamos a aproximar esta diferencia, de la siguiente manera:

(x - a₀²)/(2a₀ + d) = d
=>
(x - a₀²)/(2a₀ + 0) = d'
=>
(x - a₀²)/2a₀ = d'
xa₀d'
211/2
311
521/4
723/4
1131/3
1332/3
1741/8

Y se lo sumamos a nuestra aproximación anterior para obtener la siguiente:

a₁ = a₀ + d'
=>
a₁ = a₀ + (x - a₀²)/2a₀
xa₀a₁
211 + 1/2
312
522 + 1/4
722 + 3/4
1133 + 1/3
1333 + 2/3
1734 + 1/8

Observar que en todos los casos estamos sobrestimando la raíz. Debemos tener una diferencia negativa. Repetimos el calculo anterior, pero con la nueva aproximación:

a₂ = a₁ + (x - a₁²)/2a₁
x a₀a₁ a₂
2 1 1 + 1/21 + 5/12
3 1 2 1 + 3/4
5 2 2 + 1/42 + 17/72
7 2 2 + 3/42 + 57/88
113 3 + 1/33 + 19/60
133 3 + 2/33 + 20/33
174 4 + 1/83 + 65/528

Y así sucesivamente (esta parte con ayuda de Wolfram|Alpha)...

x a₀a₁ a₂ a₃ a₄
2 1 1 + 1/21 + 5/12 1 + 169/408 1 + 195025/470832
3 1 2 1 + 3/4 1 + 41/56 1 + 7953/10864
5 2 2 + 1/42 + 17/72 2 + 5473/23184 2 + 567451585/2403763488
7 2 2 + 3/42 + 57/88 2 + 26481/41008 2 + 574621153/8898489952
113 3 + 1/33 + 19/60 3 + 7561/23880 3 + 1197677521/3782639760
133 3 + 2/33 + 20/33 3 + 2378/3927 3 + 33670100/55602393
174 4 + 1/84 + 65/5284 + 283009/22989124 + 5365090477825/43581196642368

Estas son - en general - buenas aproximaciones (suficientemente buenas para engañar una calculadora convencional). Todas las aproximaciones presentadas (excepto la primera, que la obtenemos de forma distinta) sobrestiman la raíz. Además, a pesar de utilizar el "Método Babilónico", no he coincido con la tablilla, ni tengo certeza de cuanta precisión estaría usando Arquímedes.


Aproximando π

Ok, no voy a poder calcular los mismos valores que Arquímedes obtuvo, pero podré calcular una aproximación de π que Arquímedes pudiera haber hecho en su época (porque si no, nunca publico este articulo). Sin trigonometría, ni calculadora. De hecho, sin hacer medidas.

Vamos a empezar con el hexágono inscrito, porque es fácil. Lo podemos construir con compás, regla y borrador:

Podemos observar que el perímetro del hexágono inscrito es 6 veces el radio. Esta es nuestra primera aproximación de la circunferencia, y la usamos para tener nuestra primera aproximación de π.

Recordemos que:

π = (Circunferencia)/(Diamtro)
=>
π = (Circunferencia)/(2*(Radio))

Luego:

π₀ = (Perímetro del Hexágono inscrito)/(2 * (Radio))
=>
π₀ = (6 * (Radio))/(2 * (Radio))
=>
π₀ = 3

Ok, ahora vamos a subdividir cada lado del hexágono, para formar un dodecágono:

Para calcular la longitud del nuevo lado, tendremos que resolver el sistema de triángulos mediante Pitágoras:

Tenemos las siguientes ecuaciones:

  • a² + (r/2)² = r²
  • (r-a)² + (r/2)² = x²

Necesitamos calcular a, para poder calcular x:

a² + (r/2)² = r²
=>
a² = r² - (r/2)²
=>
a² = r² - r²/2²
=>
a² = r² - r²/4
=>
a² = r²(1 - 1/4)
=>
a² = r²(3/4)
=>
a = r(√3/2)

Por eso necesitamos la raíz de tres. Voy a usar la segunda aproximación:

a = r((1 + 3/4)/2)
=>
a = r(7/8)

Ahora reemplazamos en la segunda ecuación:

(r-a)² + (r/2)² = x²
=>
(r-a)² + r²/4 = x²
=>
(r-r(7/8))² + r²/4 = x²
=>
((1/8)r)² + r²/4 = x²
=>
(1/64)r² + r²/4 = x²
=>
(17/64)r² = x²
=>
(√17/8)r = x

De nuevo, segunda aproximación, esta vez para la raíz de 17:

(√17/8)r = x
=>
((4 + 65/528)/8)r = x
=>
(2177/4224)r = x

Ahora, el perímetro del dodecágono es - evidentemente - doce veces esta cantidad:

π₁ = (Perímetro del Dodecágono inscrito)/(2 * (Radio))
=>
π₁ = (12*(2177/4224)(Radio))/(2 * (Radio))
=>
π₁ = (6*(2177/4224)(Radio))/(Radio)
=>
π₁ = 6*(2177/4224)
=>
π₁ = 2177/704 = 3 + 65/704

Esta aproximación no es tan buena como la que consiguió Arquímedes. Dicen los libros que Arquímedes continuo dividiendo los lados hasta conseguir un polígono de 96 lados. Que no lo voy a hacer porque tendría que conseguir aproximaciones a raíces más altas (es posible que si trabajo dejando las raíces expresadas y las resuelvo al final, pueda conseguir una mejor aproximación), además - si insisto en hacerlo por los medios disponible a Arquímedes - me voy a tardar días.


Muerte

Cuenta la leyenda - bueno, cuenta Plutarco en una de sus versiones - que Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático (se presume que trabajando en su aproximación de π) mientras el ejercito romano se tomo la ciudad. Un soldado romano le ordenó ir a encontrarse con el general, pero Arquímedes no le obedeció, diciendo que tenía que resolver antes el problema. El soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada. Dice la leyenda que las ultimas palabras de Arquímedes fueron "No toquen mis círculos".


No, yo no me voy a quedar haciendo aproximaciones de π. Esta historia continuara...

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