Sobre la infinidad de los números

Primero que todo, es fácil ver que los números naturales son infinitos. Podemos empezar por el 0, y continuar sumando 1 cada vez, y para cada número siempre habrá un siguiente número... después del 0 sigue el 1, después del 1 sigue el 2, después del 25 sigue el 26, después del 45000 sigue el 45001, después del 1000000 sigue el 100001, y así sucesivamente. Sin llegar nunca a un ultimo número.

Enteros

Luego, es posible emparejar los naturales con los números naturales. Para esto, de nuevo empezamos por el 0, y vamos aumentando en magnitud... pero vamos a considerar ambos signos (positivo y negativo), de esta forma:

Natural	Entero
0	0
1	1
2	-1
3	2
4	-2
5	3
6	-3
7	4
8	-4
9	5
10	-5

Etcétera...

Aunque los enteros parecen crecer más lento, para cada número natural hay un número entero, y para cada número entero hay un número natural. Emparejando los números de esta forma - y sin necesidad de saber cuantos son - podemos decir que los enteros y los naturales son del mismo tamaño. Y dado que los naturales son infinitos, podemos decir lo mismo de los enteros. O basta con decir que los enteros incluyen todos los naturales, y también sus versiones negativas. Lo interesante aquí no es que los enteros sean infinitos... sino que son exactamente la misma cantidad que los naturales.

Entonces, hemos agregado una cantidad infinita de números (los negativos) a una cantidad infinita de números (los naturales) y terminamos con exactamente la misma cantidad de números (infinitos).

Fracciones

Tercero, podemos hacer un argumento similar con las fracciones... las organizamos en un cuadro, con cada número en las columnas y cada número en las filas, y cada casilla es su cociente. Luego, podemos recorrer las fracciones en diagonal (evitando los números repetidos) así asignar a cada fracción un número natural.

Tabla de fracciones sin fracciones repetidas:

	1	2	3	4	5
1	1/1	2/1	3/1	4/1	5/1
2	1/2		3/2		5/2
3	1/3	2/3		4/3	5/3
4	1/4		3/4		5/4
5	1/5	2/5	3/5	4/5

Etcétera...

Natural	Fracción
0	1/1
1	2/1
2	1/2
3	3/1
4	1/3
5	4/1
6	3/2
7	2/3
8	1/4
9	5/1
10	1/5

Etcétera...

De esta forma podemos ver que para cada número natural hay una fracción, y para cada fracción hay un número natural. Por tanto las fracciones (a pesar de parecer ser más) son exactamente la misma cantidad que los números naturales (infinitos)

Podemos considerar los radicales, por ejemplo raíz cuadrada de dos, de forma similar. En lugar de utilizar cociente, utilizamos Radicación. Debemos considerar las sumas de radicales, y radicales y fracciones, Etcétera...

Y aún así no llegamos a considerar números trascendentales como el número PI.

Diagonal de Cantor

Supongamos que podemos hacer una lista con todos los números reales (enteros, fracciones, radicales y trascendentales) en el rango [0, 1], en algún orden. Supongamos que esta lista se ve algo así:

Natural	Real
0	0.223885985241559899...
1	0.814648548552987522...
2	0.323516985710046968195...
3	0.4522383525054407812
4	0.51239478831569620...
5	0.87314813764893107269...
6	0.2898682779641722642...
7	0.71636939369118534568...
8	0.20535036338694801385...
9	0.73176311507336196291...
10	0.8298409810880751385...

Etcétera...

(Números generados con la ayuda de Random.org)

Podemos crear un nuevo número que no está en la lista - dice Cantor - si recorremos los dígitos en la diagonal y para cada uno elegimos un dígito diferente. Por ejemplo, podemos elegir 0 si el dígito es 9, y para los otros dígitos les sumamos 1 (así, por ejemplo el 5 se convierte en 6).

Empezamos con 0.:

0.

Luego tomamos el primer número (0.223885985241559899...) y de este su primer dígito (2), y lo transformamos (2 -> 3):

0.3

Luego tomamos el segundo número (0.814648548552987522...) y de este su segundo dígito (1), y lo transformamos (1 -> 2):

0.32

Luego tomamos el tercer número (0.323516985710046968195...) y de este su tercer dígito (3), y lo transformamos (3 -> 4):

0.324

Y así sucesivamente...

0.32430930719...

Luego, este número que construimos por definición no está en la lista, puesto que es diferente del primer número en el primer dígito, es diferente del segundo número en el segundo dígito, etcétera. Y por tanto, no importa que tan completa sea la lista de números que tenemos, siempre podemos crear otro número que no está en la lista. Esto demuestra que no podemos hacer una equivalencia uno-a-uno entre los naturales y los reales. De hecho, tenemos que decir que los números reales son más que los números naturales.

Tanto los números naturales como los números reales son infinitos, pero la cantidad de números reales es un infinito más grande.

Llamamos al infinito de los naturales "infinito contable", y al infinito de los reales "infinito incontable". Aunque la verdad es que nadie puede contar "hasta" infinito, ojalá tuviéramos otros nombres para referirnos a ellos...